Αρχαία Ελλάδα: Τα μαθηματικά με γράμματα αντί αριθμών

Αρχαία Ελλάδα: Τα μαθηματικά με γράμματα αντί αριθμών και οι μαθηματικές ανακαλύψεις του Πυθαγόρα και των μαθητών του

Οι αρχαίοι Έλληνες, παρά το λαμπρό τους πνεύμα και τις σημαντικές τους συνεισφορές στα μαθηματικά, δεν κατάφεραν να αναπτύξουν ένα αποτελεσματικό και ευρέως χρησιμοποιούμενο σύστημα αρίθμησης για την αναπαράσταση των φυσικών αριθμών, όπως τα σύγχρονα αραβικά ψηφία. Αντίθετα, προτίμησαν να χρησιμοποιούν το αλφάβητό τους για την αναπαράσταση αριθμών, ένα σύστημα που, αν και είχε τα πλεονεκτήματά του, δεν ήταν χωρίς περιορισμούς.

Αρχαία Ελλάδα: Τα μαθηματικά με γράμματα αντί αριθμών

Οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί, αν και εξαιρετικά ταλαντούχοι, δεν έδωσαν ιδιαίτερη έμφαση στη χρήση αριθμών στα μαθηματικά τους. Ακόμη και ο Πυθαγόρας, ο οποίος συνέβαλε σημαντικά στην ανάπτυξη των μαθηματικών, ενδιαφερόταν περισσότερο για τα γεωμετρικά σχήματα και τις σχέσεις μεταξύ τους παρά για την αριθμητική.

Ωστόσο, οι αρχαίοι Έλληνες είχαν ένα σύστημα αρίθμησης που, σε ορισμένες πτυχές, ήταν πιο προηγμένο από τους ρωμαϊκούς αριθμούς, οι οποίοι χρησιμοποιούνται ακόμη και σήμερα σε ορισμένες περιπτώσεις. Όπως και οι ρωμαϊκοί αριθμοί, το ελληνικό σύστημα αρίθμησης βασιζόταν στη χρήση γραμμάτων. Ωστόσο, σε αντίθεση με τους ρωμαϊκούς αριθμούς, το ελληνικό σύστημα απαιτούσε μόνο ένα σύμβολο για κάθε δεκαδικό ψηφίο, παρόμοια με τα αραβικά ψηφία που χρησιμοποιούμε σήμερα.

Στον 6ο αιώνα π.Χ., το ελληνικό αλφάβητο αποτελούνταν από 24 γράμματα. Για να δημιουργήσουν αριθμούς, οι Έλληνες πρόσθεσαν τρία επιπλέον σύμβολα (η ακριβής προέλευση των οποίων είναι αμφισβητούμενη), και στη συνέχεια τα ομαδοποίησαν σε εννέα σύμβολα για να αναπαραστήσουν τις μονάδες, τις δεκάδες και τις εκατοντάδες.

Αυτό το σύστημα αρίθμησης, αν και αποτελεσματικό για την αναπαράσταση μικρών αριθμών, ήταν λιγότερο πρακτικό για την αναπαράσταση μεγάλων αριθμών ή για την εκτέλεση πολύπλοκων μαθηματικών πράξεων. Η απουσία ενός αποτελεσματικού συστήματος αρίθμησης μπορεί να θεωρηθεί ως ένας από τους λόγους για τους οποίους οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί δεν μπόρεσαν να αναπτύξουν περαιτέρω ορισμένους τομείς των μαθηματικών, όπως η άλγεβρα και η ανάλυση.

Αρχαία Ελλάδα: Τα μαθηματικά με γράμματα αντί αριθμών

Για το πενταπλάσιο ενός αριθμού χρησιμοποιούσαν το σύμβολο του αριθμού κάτω από το Π : έτσι το Π , Π σήμαινε αντίστοιχα 5*1000 ,5*10. Για το 1 χρησιμοποιούσαν το σύμβολο Ι. Η παράσταση των αριθμών γινόταν με τα γράμματα του τότε αλφαβήτου και με τη χρησιμοποίηση της θέσης του καθενός τους στο αλφάβητο ως εξής :τα α, β, γ, δ, ε, s (στίγμα),ζ, η, θ για τους 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (μονάδες) , τα ι,κ,λ,μ,ν,ξ,ο,π,7 (“κόππα”) για τους 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 (δεκάδες), τα ρ, σ, τα, υ, φ, χ, ψ, ω, (“σαμπί”) για τους 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 (εκατοντάδες). Κατά την γραφή αυτή ια, ιβ, κγ, ρα κ.λ.π., σήμαιναν αντίστοιχα: 10+1 (=11), 10+2 (=12), 20+3 (=23), 100+1 (=101) κ.λ.π. Το πρόβλημα με αυτό το αριθμητικό σύστημα ήταν ότι δεν ήταν δυνατή η παράσταση μεγάλων αριθμών με έναν περιορισμένο αριθμό συμβόλων.

Οι μαθηματικές ανακαλύψεις του Πυθαγόρα και των μαθητών του, ήταν πραγματικά αξιοσημείωτες. Δεν περιορίστηκαν μόνο στη μελέτη των περιττών και άρτιων ή των πρώτων και σύνθετων αριθμών, αλλά επεκτάθηκαν και στους αριθμούς που σχετίζονται με γεωμετρικά σχήματα. Δηλαδή, στους αριθμούς που χρησιμοποιούνται για να αναπαραστήσουν σημεία σε επίπεδα ή τρισδιάστατα σχήματα.

Οι Πυθαγόρειοι διατύπωσαν τη θεωρία των αναλογιών, καθώς και τη σχέση μεταξύ των μουσικών διαστημάτων και του μήκους μιας τεντωμένης χορδής. Η Πυθαγόρεια αριθμητική περιλάμβανε τη μελέτη των “πλευρικών”, “διαμετρικών” και “τέλειων” αριθμών, και ήταν η πρώτη θεωρία που αναγνώρισε την ύπαρξη ασύμμετρων και ασύμφωνων αριθμών.

Όμηρος: Ο μυστικός αριθμός «3» σε Οδύσσεια και Ιλιάδα και οι ισχυροί συμβολισμοί που κρύβονται στα έπη του Έλληνα ποιητή

Χρησιμοποιώντας το ελληνικό αλφάβητο, οι αρχαίοι Έλληνες μπορούσαν να αναπαραστήσουν αριθμούς μέχρι το 99.999.999, ένα μέγεθος πολύ μεγαλύτερο από τις ανάγκες της καθημερινής ζωής ή των σύνθετων μαθηματικών υπολογισμών. Επίσης, είχαν τρόπους να αναπαριστούν κλάσματα, χρησιμοποιώντας ένα σημάδι στην επάνω δεξιά γωνία ενός αριθμού για να υποδηλώσουν το αντίστροφο του αριθμού αυτού, και ειδικά σύμβολα για κοινά κλάσματα όπως το 1/2.

Το αλφαβητικό σύστημα αρίθμησης εμφανίστηκε για πρώτη φορά στα ελληνικά νησιά του Αιγαίου τον 6ο αιώνα π.Χ., πιθανώς επηρεασμένο από το αιγυπτιακό σύστημα μέσω του εμπορίου. Περίπου την ίδια εποχή, ο Πυθαγόρας έφερε επανάσταση στα μαθηματικά με το περίφημο θεώρημά του στη Σάμο, αν και δεν υπάρχουν σαφείς αποδείξεις ότι χρησιμοποιούσε το αλφαβητικό σύστημα αρίθμησης.

Παρά την αρχική του εμφάνιση, το αλφαβητικό σύστημα αρίθμησης έπεσε σε σχετική αφάνεια για περίπου 150 χρόνια, για να επανέλθει στο προσκήνιο στα τέλη του 4ου αιώνα π.Χ., όταν ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε με τα εφαρμοσμένα μαθηματικά και ο Πτολεμαίος υπολόγισε το γεωγραφικό πλάτος χιλιάδων τοποθεσιών.